공격력/마력 확률 문제
작성 완료
- 공격력 직업으로 공격력 2줄 옵션(12% / 9%)을 획득할 때까지 에디셔널 잠재 능력을 재설정하는 상황을 가정하자
- 옵션을 재설정하다보면 공격력 2줄이 등장하기 전에 마력 2줄이 등장하는 경우를 쉽게 볼 수 있다
- 누군가는 공격력 직업으로 옵션을 재설정할 경우 공격력보다 마력이 등장할 확률이 더 높다고 체감할 수 있다
- 여기서 가설은 공격력 직업으로 옵션을 재설정할 경우 공격력 2줄보다 마력 2줄이 등장할 확률이 더 높다 이다
- 이것이 진짜인지 확인하는 방법은 간단한데 공격력 직업으로 에디셔널 잠재 능력을 수많이 재설정하면 된다
- 이를 혼자 진행하는 것은 어려우니 여러 명에게 데이터를 받아 진행할 수도 있다
- 만약, 데이터를 받을 사람을 미리 무작위로 정하는 것이 아닌 아무나에게 데이터를 받는다면 해당 데이터가 편향될 가능성이 높다
- 대개, 데이터를 제출하는 사람은 해당 가설이 참이라고 느낀 사람이 많을 것이다
- 반대로 공격력 2줄 옵션을 마력 2줄 옵션보다 먼저 획득한 사람은 해당 가설이 거짓이라고 생각하며 굳이 데이터를 제출하진 않을 것이다 (가설이 거짓임을 체감했기 때문)
- 그러면 수집된 데이터에는 마력 2줄 옵션이 공격력 2줄보다 많이 포함되고 이는 가설이 참이라는 결론을 도출하게 된다
- 무작위로 수집된 데이터라면 공격력 2줄이 등장할 확률과 마력 2줄이 등장할 확률은 같다
- 이에 대해 보충 설명을 하면 다음과 같다
- $n$명의 사람들에 대해 공격력 2줄 옵션이 나올 때까지 큐브를 사용한다고 가정하자
- 이 중 평균적으로 $\frac{n}{2}$명은 공격력 2줄 옵션이 먼저 나왔을 것이며 나머지 $\frac{n}{2}$명은 마력 2줄 옵션이 먼저 나왔을 것이다
- 여기서, 공격력 등장 횟수 = 마력 등장 횟수 = n / 2이다
- 마력 2줄 옵션이 먼저 나온 $\frac{n}{2}$명은 공격력 2줄 옵션을 얻을 때까지 큐브를 사용한다
- 그러면 $\frac{n}{2}$명 중 평균적으로 $\frac{n}{4}$명은 공격력 2줄 옵션이 먼저 나왔을 것이며 나머지 $\frac{n}{4}$명은 마력 2줄 옵션이 먼저 나왔을 것이다
- 여기서, 공격력 등장 횟수 = 마력 등장 횟수 = n / 4이다
- 이를 반복하면 $n$명의 사람들이 큐브를 사용해서 얻은 잠재능력 중 공격력 2줄 옵션이 등장한 횟수의 기댓값은 $\frac{n}{2} + \frac{n}{4} + \cdots = n$ 이며 마력도 동일하다
- 그런데 공격력 2줄 옵션 또는 마력 2줄 옵션을 확인하는 것이 아니라 첫 번째줄 옵션이 공격력인지 마력인지 확인하는 경우는 어떨까?
- 마력 2줄이 많이 등장했더라도 첫 번째줄 옵션만 놓고보면 공격력이 마력보다 많이 등장했을 수도 있다
- 하지만, 마력 2줄이 많이 등장했다는 것은 해당 수치만큼 첫 번째 줄 옵션에서 마력이 등장했다는 것을 의미한다
- 즉, 첫 번째 줄 옵션에서 마력이 어느정도 등장했음을 보장하므로 첫 번째 줄에서 공격력보다 마력이 평균적으로 많이 등장했을 것이다
- 궁금증: 마력 2줄을 여러 번 획득한 후 공격력 2줄을 획득했을 때 첫 번째 줄 옵션은 마력이 공격력보다 많이 획득되도록 편향되었을까?
from typing import Any, ClassVar, Dict, List, Literal, Tuple
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import pandas as pd
from tqdm import tqdm
Option = Literal["공격력", "마력", "잡옵"]
class Cube:
_first_option2prob: ClassVar[Dict[Option, float]]
_second_option2prob: ClassVar[Dict[Option, float]]
_third_option2prob: ClassVar[Dict[Option, float]]
def __init__(self, seed: int) -> None:
self.random_state = np.random.RandomState(seed)
@property
def first_option2prob(self) -> Dict[Option, float]:
return self._first_option2prob
@property
def second_option2prob(self) -> Dict[Option, float]:
return self._second_option2prob
@property
def third_option2prob(self) -> Dict[Option, float]:
return self._third_option2prob
def roll(self) -> Tuple[Option, Option, Option]:
return (
self._get_random_option(self.first_option2prob),
self._get_random_option(self.second_option2prob),
self._get_random_option(self.third_option2prob),
)
def _get_random_option(self, option2prob: Dict[Option, float]) -> Option:
rand = self.random_state.rand()
cumulative_prob = 0.0
for option, prob in option2prob.items():
cumulative_prob += prob
if rand <= cumulative_prob:
return option
class AdditionalCube(Cube):
_first_option2prob = {"공격력": 0.04878, "마력": 0.04878, "잡옵": 0.90244}
_second_option2prob = {"공격력": 0.062791, "마력": 0.062791, "잡옵": 0.874418}
_third_option2prob = {"공격력": 0.06907, "마력": 0.06907, "잡옵": 0.86186}
class CubeResultAnalyzer:
def is_attack_power(self, option: Option) -> bool:
return option == "공격력"
def is_magic_power(self, option: Option) -> bool:
return option == "마력"
def is_valid_attack_power(self, first: Option, second: Option, third: Option) -> bool:
return self.is_attack_power(first) and (self.is_attack_power(second) or self.is_attack_power(third))
def is_valid_magic_power(self, first: Option, second: Option, third: Option) -> bool:
return self.is_magic_power(first) and (self.is_magic_power(second) or self.is_magic_power(third))
class History:
def __init__(self) -> None:
self.data: List[Dict[str, Any]] = []
def record(self, data: Dict[str, Any]) -> None:
self.data.append(data)
def reset(self) -> None:
self.data.clear
def to_dataframe(self) -> pd.DataFrame:
return pd.DataFrame.from_records(self.data)
class CubeSimulator:
def __init__(self, cube: Cube) -> None:
self.cube = cube
self.analyzer = CubeResultAnalyzer()
self.history = History()
self._reset_init_conditions()
def reset(self) -> None:
self.history.reset()
self._reset_init_conditions()
def _reset_init_conditions(self) -> None:
self.n = 0
self.attack_power_count = 0
self.valid_attack_power_count = 0
self.magic_power_count = 0
self.valid_magic_power_count = 0
def simulate(self, size: int) -> None:
for _ in tqdm(range(size)):
self._reset_init_conditions()
self._simulate_until_attack2()
data = {
"n": self.n,
"attack_power_count": self.attack_power_count,
"magic_power_count": self.magic_power_count,
"valid_magic_power_count": self.valid_magic_power_count,
"valid_attack_power_count": self.valid_attack_power_count,
}
self.history.record(data)
def _simulate_until_attack2(self) -> None:
while self.valid_attack_power_count == 0:
self._simulate_once()
def _simulate_once(self) -> None:
first, second, third = self.cube.roll()
self.n += 1
if self.analyzer.is_valid_attack_power(first, second, third):
self.valid_attack_power_count += 1
elif self.analyzer.is_valid_magic_power(first, second, third):
self.valid_magic_power_count += 1
if self.analyzer.is_attack_power(first):
self.attack_power_count += 1
elif self.analyzer.is_magic_power(first):
self.magic_power_count += 1
def export(self) -> pd.DataFrame:
return self.history.to_dataframe()
seed = 2024
cube = AdditionalCube(seed)
simulator = CubeSimulator(cube)
size = 50000
simulator.simulate(size)
df = simulator.export()
df.head()
df_over_magic3 = df.query("valid_magic_power_count >= 3")
df_over_magic3.head()
- 마력 2줄을 3번 이상 획득한 후에 공격력 2줄을 획득한 경우 억까당했다고 볼 수 있을 것이다
- 억까당하고 공격력 2줄을 뽑기위해 시도한 횟수
ns = df_over_magic3["n"].to_list()
plt.hist(ns, bins=50)
plt.show()
print(sum(ns))
print(min(ns))
print(max(ns))
- 억까당하고 공격력 2줄을 뽑았을 때 첫 줄 옵션에서 공격력보다 마력이 더 많이 등장했을까?
attack_power_counts = df_over_magic3["attack_power_count"].to_numpy()
magic_power_counts = df_over_magic3["magic_power_count"].to_numpy()
attack_power_counts[:10], magic_power_counts[:10]
gaps = magic_power_counts - attack_power_counts
print(len(gaps))
gaps[:10]
sum(gaps)
- 에디 마력 2줄을 3번 이상 획득한 후 공격력 2줄을 획득한 사람은 50000명 중 6256명이다
- 이 6256명의 경우 총 2529798번 잠재능력을 재설정 했으며 첫 번째 줄에서 마력이 공격력보다 18989번 더 등장했다
- 이 수치가 일반적인 경우와 비교했을 때 이상치인지 확인하겠다
ns = df["n"].to_list()
- 공격력 2줄을 뽑기위해 시도한 횟수
plt.hist(ns, bins=50)
plt.show()
print(sum(ns))
print(min(ns))
print(max(ns))
- 일반적인 상황에선 공격력 2줄을 뽑았을 때 첫 줄 옵션에서 공격력보다 마력이 더 많이 등장했을까?
attack_power_counts = df["attack_power_count"].to_numpy()
magic_power_counts = df["magic_power_count"].to_numpy()
gaps = magic_power_counts - attack_power_counts
print(len(gaps))
sum(gaps)
- 공격력 2줄을 뽑았을 때 첫 번째 줄에서 마력보다 공격력이 323번 더 등장했다
- 50000명이 총 8046085번 잠재능력을 재설정 했으며 첫 번째 줄에서 마력이 공격력보다 147번 더 등장했다
- 첫 번째 줄에서 공격력, 마력이 각각 등장할 확률 $p= 0.04878$이다
- $n=8046085$이므로 이항분포 $B(8046085, 0.04878)$를 생각할 수 있다
- 이는 한 번의 시행마다 공격력을 얻을 확률이 $0.04878$인 잠재능력 재설정을 8046085번 했을 때 등장한 공격력 옵션의 개수임을 뜻한다 (마력도 동일함)
- 그런데 표본을 수집할 때 $n=8046085$을 처음부터 정한 것은 아니며 여기서 $n$은 확률 변수의 실현치이다 (공격력 2줄을 50000번 얻을때까지 잠재능력 재설정을 한 횟수)
- 왜냐하면 8046085번 잠재능력을 설정한게 아니라 50000명의 사람들이 각각 공격력 2줄이 나올때까지 잠재능력을 재설정한 결과를 취합한 것이기 때문이다
- 항상 잠재능력 재설정의 마지막 결과는 공격력 2줄(공격력 1줄은 당연히 포함)이므로 여기서 첫 번째 줄에서 공격력이 등장한 횟수의 분포는 정확하게 이항 분포를 따르지는 않는다
- 하지만 표본 크기가 8046085로 매우 크므로 이항 분포로 근사 가능하다
- 공격력 2줄을 50000번 얻을 때까지 잠재능력 재설정을 하여 총 8046085번 잠재능력을 재설정 했을 때 첫 번째 줄에서 공격력이 등장한 횟수를 $X$라 하자
- 확률 변수 $X$는 근사적으로 이항 분포 $B(8046085, 0.04878)$를 따르며 마력의 경우도 이와 동일하며 확률 변수 $Y$라 칭하자
- $np=8046085\times0.04878=392488$로 충분히 크므로 확률 변수 $X$와 $Y$는 $N(np, np(1-p))$로 근사 가능하다
- 이때 확률 변수 $W=Y-X$는 정규분포의 성질에 의해 $N(0, 2np(1-p))$를 따른다
- 정규분포에서 $95\%$의 데이터는 $(\mu-2\sigma, \mu+2\sigma)$에 존재하는데 이를 계산하면 $(-1771, 1771)$이다
- 즉, 147이란 값은 충분히 등장할 수 있는 수치이다
- 위에서는 $n$도 2529798로 더 작으며 확률 변수 실현치인 18989도 $(-1771, 1771)$ 구간을 벗어났으니 편향된 값이라 볼 수 있다
- 결론: 억까인 상황에 대해서는 첫 줄에 마력이 공격력보다 더 많이 등장한다
- 한편, 억까의 기준이 너무 높다고 생각할 수 있다
- 위에서 정한 억까의 기준은 에디 마력 2줄을 3번 이상 획득한 후 공격력 2줄을 획득한 경우이다
- 억까의 기준을 가장 약하게 정한다면 에디 마력 2줄을 단 1번 획득한 후 공격력 2줄을 획득한 경우로 정의할 수 있다
df_magic1 = df.query("valid_magic_power_count == 1")
ns = df_magic1["n"].to_list()
print(sum(ns))
print(min(ns))
print(max(ns))
attack_power_counts = df_magic1["attack_power_count"].to_numpy()
magic_power_counts = df_magic1["magic_power_count"].to_numpy()
gaps = magic_power_counts - attack_power_counts
print(len(gaps))
sum(gaps)
- 에디 마력 2줄을 단 1번 획득한 후 공격력 2줄을 획득한 사람은 50000명 중 12561명이다
- 이 12561명의 경우 총 2015066번 잠재능력을 재설정 했으며 첫 번째 줄에서 마력이 공격력보다 372번 더 등장했다
- 위에서 계산한 것과 동일하게 해보면 $95\%$의 데이터는 $(-864, 864)$에 존재한다
- 이는 일반적인 기준과 비교했을 때 이상치로 취급되지 않는다
- 따라서 일반적인 경우에서 샘플링한 것인지 에디 마력 2줄을 1번 획득한 후 공격력 2줄을 획득한 사람을 대상으로 샘플링한 것인지 구분할 수 없다
- 생각해보면 당연한게 마력 2줄을 1번 획득했고 공격력 2줄도 동일하게 1번 획득했다
- 즉, 둘의 비율이 $1:1$이다
- 일반적인 경우도 맨 처음에 계산했듯이 둘의 비율이 $1:1$이다
- 그러니 구분하지 못하는게 당연하고 오히려 첫 번째 줄에서 공격력 또는 마력이 나머지에 비해 $864$번 더 등장했다면 문제가 된다
- 처음에 설정한 궁금증은 마력 2줄을 여러 번 획득한 후 공격력 2줄을 획득했을 때 첫 번째 줄 옵션은 마력이 공격력보다 많이 획득되도록 편향되었을까?였다
- 이 궁금증은 에디 마력 2줄을 단 1번 획득한 후 공격력 2줄을 획득한 사람을 제외하곤 성립한다