Boole's inequality and Bonferroni's inequality
작성 완료
- Boole의 부등식: $P\bigg(\bigcup\limits_{i=1}^{\infty} A_i\bigg) \leq \sum\limits_{i=1}^{\infty}P(A_i)$
Boole의 부등식 증명
- $B_1=A_1,\,B_2=A_2\cap A^c_1,\, \cdots,\,B_i = A_i\cap\bigg(\bigcup\limits_{j=1}^{i-1}A_j\bigg)^c$
- 사건 $B_i$는 사건 $A_i$에는 속하면서 사건 $A_j\,(1 \leq j <i$)에는 속하지 않는다
- 그렇기에 $B_i$와 $B_j(i\neq j)$는 서로 배반 사건임 ---> 배반 사건이므로 $P(\cup B_i) = \sum P(B_i)$
- 그리고 $\cup A_i=\cup B_i$ 임을 알 수 있음
- 또 $B_i \subset A_i$ 이므로 $P(\cup A_i)= P(\cup B_i)= \sum P(B_i) \leq \sum P(A_i)$ 가 성립한다
Bonferroni의 부등식 증명
- 드 모르간의 법칙: $\bigg(\bigcap\limits_{i=1}^{k}A_i\bigg)^c = \bigcup\limits_{i=1}^{k}A^c_i\longrightarrow \bigcap\limits_{i=1}^{k}A_i= \bigg(\bigcup\limits_{i=1}^{k}A^c_i\bigg)^c$
-
$P\bigg(\bigcap\limits^{k}_{i=1}A_i\bigg)\geq 1 - \sum\limits_{i=1}^{k}P(A_i^c)\qquad\therefore\bigcap\limits_{i=1}^{k}A_i= \bigg(\bigcup\limits_{i=1}^{k}A^c_i\bigg)^c$
-
$P\bigg(\bigg(\bigcup\limits_{i=1}^{k}A^c_i\bigg)^c\bigg)\geq 1 - \sum\limits_{i=1}^{k}P(A_i^c)\qquad\therefore P(A^c)=1-P(A)$
-
$1-P\bigg(\bigcup\limits_{i=1}^{k}A^c_i\bigg)\geq 1 - \sum\limits_{i=1}^{k}P(A_i^c)$
-
$P\bigg(\bigcup\limits_{i=1}^{k}A^c_i\bigg)\leq \sum\limits_{i=1}^{k}P(A_i^c)\qquad\therefore$ $A^c_i$ 대신 $A_i$ 사용해도 상관없음
-
$P\bigg(\bigcup\limits_{i=1}^{k}A_i\bigg)\leq \sum\limits_{i=1}^{k}P(A_i)\longrightarrow $ 이 식이 성립하는지 수학적 귀납법을 사용하여 증명하자
- $k=1$일 때 $P(A_1) \leq P(A_1)$이므로 성립한다
- $k=n$일 때 성립한다 가정하고 $k=n+1$일 때도 성립하는지 확인하자
-
$P\bigg(\bigcup\limits_{i=1}^{n+1}A_i\bigg)= P\bigg(\bigg(\bigcup\limits_{i=1}^{n}A_i\bigg)\cup A_{n+1}\bigg) \\= P\bigg(\bigcup\limits_{i=1}^{n}A_i\bigg)+P(A_{n+1})-P\bigg(\bigg(\bigcup\limits_{i=1}^{n}A_i\bigg)\cap A_{n+1}\bigg)$
-
$P\bigg(\bigcup\limits_{i=1}^{n+1}A_i\bigg) \leq P\bigg(\bigcup\limits_{i=1}^{n}A_i\bigg) + P(A_{n+1})\qquad\therefore P\bigg(\bigg(\bigcup\limits_{i=1}^{n}A_i\bigg)\cap A_{n+1}\bigg)\geq 0$
-
$P\bigg(\bigcup\limits_{i=1}^{n+1}A_i\bigg) \leq P\bigg(\bigcup\limits_{i=1}^{n}A_i\bigg) + P(A_{n+1})\leq\sum\limits_{i=1}^{n}P(A_i)+P(A_{n+1})=\sum\limits_{i=1}^{n+1}P(A_i)$
- 따라서 $k=n+1$일 때도 성립한다
- 수학적 귀납법에 의해 모든 유한개의 사건 $k$에 대해 $P\bigg(\bigcap\limits^{k}_{i=1}A_i\bigg)\geq 1 - \sum\limits_{i=1}^{k}P(A_i^c)$ 가 성립함