공격력/마력 확률 문제
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- 공격력 직업으로 공격력 2줄 옵션(12% / 9%)을 획득할 때까지 에디셔널 잠재 능력을 재설정하는 상황을 가정하자
- 옵션을 재설정하다보면 공격력 2줄이 등장하기 전에 마력 2줄이 등장하는 경우를 쉽게 볼 수 있다
- 누군가는 공격력 직업으로 옵션을 재설정할 경우 공격력보다 마력이 등장할 확률이 더 높다고 체감할 수 있다
- 여기서 가설은 공격력 직업으로 옵션을 재설정할 경우 공격력 2줄보다 마력 2줄이 등장할 확률이 더 높다 이다
- 이것이 진짜인지 확인하는 방법은 간단한데 공격력 직업으로 에디셔널 잠재 능력을 수많이 재설정하면 된다
- 이를 혼자 진행하는 것은 어려우니 여러 명에게 데이터를 받아 진행할 수도 있다
- 만약, 데이터를 받을 사람을 미리 무작위로 정하는 것이 아닌 아무나에게 데이터를 받는다면 해당 데이터가 편향될 가능성이 높다
- 대개, 데이터를 제출하는 사람은 해당 가설이 참이라고 느낀 사람이 많을 것이다
- 반대로 공격력 2줄 옵션을 마력 2줄 옵션보다 먼저 획득한 사람은 해당 가설이 거짓이라고 생각하며 굳이 데이터를 제출하진 않을 것이다 (가설이 거짓임을 체감했기 때문)
- 그러면 수집된 데이터에는 마력 2줄 옵션이 공격력 2줄보다 많이 포함되고 이는 가설이 참이라는 결론을 도출하게 된다
- 무작위로 수집된 데이터라면 공격력 2줄이 등장할 확률과 마력 2줄이 등장할 확률은 같다
- 이에 대해 보충 설명을 하면 다음과 같다
- $n$명의 사람들에 대해 공격력 2줄 옵션이 나올 때까지 큐브를 사용한다고 가정하자
- 이 중 평균적으로 $\frac{n}{2}$명은 공격력 2줄 옵션이 먼저 나왔을 것이며 나머지 $\frac{n}{2}$명은 마력 2줄 옵션이 먼저 나왔을 것이다
- 여기서, 공격력 등장 횟수 = 마력 등장 횟수 = n / 2이다
- 마력 2줄 옵션이 먼저 나온 $\frac{n}{2}$명은 공격력 2줄 옵션을 얻을 때까지 큐브를 사용한다
- 그러면 $\frac{n}{2}$명 중 평균적으로 $\frac{n}{4}$명은 공격력 2줄 옵션이 먼저 나왔을 것이며 나머지 $\frac{n}{4}$명은 마력 2줄 옵션이 먼저 나왔을 것이다
- 여기서, 공격력 등장 횟수 = 마력 등장 횟수 = n / 4이다
- 이를 반복하면 $n$명의 사람들이 큐브를 사용해서 얻은 잠재능력 중 공격력 2줄 옵션이 등장한 횟수의 기댓값은 $\frac{n}{2} + \frac{n}{4} + \cdots = n$ 이며 마력도 동일하다
- 그런데 공격력 2줄 옵션 또는 마력 2줄 옵션을 확인하는 것이 아니라 첫 번째줄 옵션이 공격력인지 마력인지 확인하는 경우는 어떨까?
- 마력 2줄이 많이 등장했더라도 첫 번째줄 옵션만 놓고보면 공격력이 마력보다 많이 등장했을 수도 있다
- 하지만, 마력 2줄이 많이 등장했다는 것은 해당 수치만큼 첫 번째 줄 옵션에서 마력이 등장했다는 것을 의미한다
- 즉, 첫 번째 줄 옵션에서 마력이 어느정도 등장했음을 보장하므로 첫 번째 줄에서 공격력보다 마력이 평균적으로 많이 등장했을 것이다
- 궁금증: 마력 2줄을 여러 번 획득한 후 공격력 2줄을 획득했을 때 첫 번째 줄 옵션은 마력이 공격력보다 많이 획득되도록 편향되었을까?
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def get_1st_option():
r = np.random.rand()
if r < 0.04878:
return "공격력"
if r < 0.04878 * 2:
return "마력"
return "잡옵"
def get_2nd_option():
r = np.random.rand()
if r < 0.062791:
return "공격력"
if r < 0.062791 * 2:
return "마력"
return "잡옵"
def get_3rd_option():
r = np.random.rand()
if r < 0.06907:
return "공격력"
if r < 0.06907 * 2:
return "마력"
return "잡옵"
def is_attack_power(option):
if option == "공격력":
return True
return False
def is_spell_power(option):
if option == "마력":
return True
return False
def is_valid_attack_power(first_option, second_option, third_option):
if first_option == "공격력" and (second_option == "공격력" or third_option == "공격력"):
return True
return False
def is_valid_spell_power(first_option, second_option, third_option):
if first_option == "마력" and (second_option == "마력" or third_option == "마력"):
return True
return False
def get_cube_option():
first_option = get_1st_option()
second_option = get_2nd_option()
third_option = get_3rd_option()
return first_option, second_option, third_option
def check_cube_option(first_option, second_option, third_option):
if is_valid_attack_power(first_option, second_option, third_option):
return "공격력_2줄"
if is_valid_spell_power(first_option, second_option, third_option):
return "마력_2줄"
if is_attack_power(first_option):
return "공격력_1줄"
if is_spell_power(first_option):
return "마력_1줄"
return "잡옵"
def get_sample():
n = 0
valid_spell_power_count = 0
spell_power_count = 0
attack_power_count = 0
while True:
first_option, second_option, third_option = get_cube_option()
output = check_cube_option(first_option, second_option, third_option)
n += 1
if output == "공격력_2줄":
attack_power_count += 1
break
elif output == "공격력_1줄":
attack_power_count += 1
elif output == "마력_2줄":
valid_spell_power_count += 1
spell_power_count += 1
elif output == "마력_1줄":
spell_power_count += 1
else:
pass
return n, valid_spell_power_count, spell_power_count, attack_power_count
def test(threshold=3):
n, valid_spell_power_count, spell_power_count, attack_power_count = get_sample()
if valid_spell_power_count < threshold: # 에디 마력 2줄을 threshold번 이상 보고 에디 공격력 2줄을 획득한 경우, 억까 당했다고 표현
return -1, -1, -1
return n, spell_power_count, attack_power_count
def record_tests(threshold=3, size=1000):
ns = []
spell_power_counts = []
attack_power_counts = []
for _ in range(size):
n, spell_power_count, attack_power_count = test(threshold)
if n < 0: # 억까당한 경우만 기록
continue
ns.append(n)
spell_power_counts.append(spell_power_count)
attack_power_counts.append(attack_power_count)
ns = np.array(ns)
spell_power_counts = np.array(spell_power_counts)
attack_power_counts = np.array(attack_power_counts)
return ns, spell_power_counts, attack_power_counts
def test_v2(threshold=1):
n, valid_spell_power_count, spell_power_count, attack_power_count = get_sample()
if valid_spell_power_count != threshold: # 에디 마력 2줄을 threshold번 보고 에디 공격력 2줄을 획득한 경우, 억까 당했다고 표현
return -1, -1, -1
return n, spell_power_count, attack_power_count
def record_tests_v2(threshold=3, size=1000):
ns = []
spell_power_counts = []
attack_power_counts = []
for _ in range(size):
n, spell_power_count, attack_power_count = test_v2(threshold)
if n < 0: # 억까당한 경우만 기록
continue
ns.append(n)
spell_power_counts.append(spell_power_count)
attack_power_counts.append(attack_power_count)
ns = np.array(ns)
spell_power_counts = np.array(spell_power_counts)
attack_power_counts = np.array(attack_power_counts)
return ns, spell_power_counts, attack_power_counts
threshold = 3
size = 50000
ns, spell_power_counts, attack_power_counts = record_tests(threshold=threshold, size=size)
- 마력 2줄을 3번 이상 획득한 후에 공격력 2줄을 획득한 경우 억까당했다고 볼 수 있을 것이다
- 억까당하고 공격력 2줄을 뽑기위해 시도한 횟수
plt.hist(ns, bins=50)
plt.show()
print(sum(ns))
print(min(ns))
print(max(ns))
- 억까당하고 공격력 2줄을 뽑았을 때 첫 줄 옵션에서 공격력보다 마력이 더 많이 등장했을까?
spell_power_counts[:10], attack_power_counts[:10]
gaps = spell_power_counts - attack_power_counts
print(len(gaps))
gaps[:10]
sum(gaps)
- 에디 마력 2줄을 3번 이상 획득한 후 공격력 2줄을 획득한 사람은 50000명 중 6193명이다
- 이 6193명의 경우 총 2501084번 잠재능력을 재설정 했으며 첫 번째 줄에서 마력이 공격력보다 18015번 더 등장했다
- 이 수치가 일반적인 경우와 비교했을 때 이상치인지 확인하겠다
threshold = 0
size = 50000
ns, spell_power_counts, attack_power_counts = record_tests(threshold=threshold, size=size)
- 공격력 2줄을 뽑기위해 시도한 횟수
plt.hist(ns, bins=50)
plt.show()
print(sum(ns))
print(min(ns))
print(max(ns))
- 일반적인 상황에선 공격력 2줄을 뽑았을 때 첫 줄 옵션에서 공격력보다 마력이 더 많이 등장했을까?
gaps = spell_power_counts - attack_power_counts
print(len(gaps))
sum(gaps)
- 공격력 2줄을 뽑았을 때 첫 번째 줄에서 마력보다 공격력이 323번 더 등장했다
- 50000명이 총 7999376번 잠재능력을 재설정 했으며 첫 번째 줄에서 마력보다 공격력이 323번 더 등장했다
- 첫 번째 줄에서 공격력, 마력이 각각 등장할 확률 $p= 0.04878$이다
- $n=7999376$이므로 이항분포 $B(7999376, 0.04878)$를 생각할 수 있다
- 이는 한 번의 시행마다 공격력을 얻을 확률이 0.04878인 잠재능력 재설정을 7999376번 했을 때 등장한 공격력 옵션의 개수임을 뜻한다 (마력도 동일함)
- 그런데 표본을 수집할 때 $n=7999376$을 처음부터 정한 것은 아니며 여기서 $n$은 확률 변수의 실현치이다 (공격력 2줄을 50000번 얻을때까지 잠재능력 재설정을 한 횟수)
- 왜냐하면 7999376번 잠재능력을 설정한게 아니라 50000명의 사람들이 각각 공격력 2줄이 나올때까지 잠재능력을 재설정한 결과를 취합한 것이기 때문이다
- 항상 잠재능력 재설정의 마지막 결과는 공격력 2줄(공격력 1줄은 당연히 포함)이므로 여기서 첫 번째 줄에서 공격력이 등장한 횟수의 분포는 정확하게 이항 분포를 따르지는 않는다
- 하지만 표본 크기가 7999376로 매우 크므로 이항 분포로 근사 가능하다
- 공격력 2줄을 50000번 얻을 때까지 잠재능력 재설정을 하여 총 7999376번 잠재능력을 재설정 했을 때 첫 번째 줄에서 공격력이 등장한 횟수를 $X$라 하자
- 확률 변수 $X$는 근사적으로 이항 분포 $B(7999376, 0.04878)$를 따르며 마력의 경우도 이와 동일하며 확률 변수 $Y$라 칭하자
- $np=7999376\times0.04878=390209$로 충분히 크므로 확률 변수 $X$와 $Y$는 $N(np, np(1-p))$로 근사 가능하다
- 이때 확률 변수 $W=Y-X$는 정규분포의 성질에 의해 $N(0, 2np(1-p))$를 따른다
- 정규분포에서 $95\%$의 데이터는 $(\mu-2\sigma, \mu+2\sigma)$에 존재하는데 이를 계산하면 $(-1723, 1723)$이다
- 즉, -323이란 값은 충분히 등장할 수 있는 수치이다
- 위에서는 $n$도 2501084로 더 작으며 확률 변수 실현치인 18015도 $(-1723, 1723)$ 구간을 벗어났으니 편향된 값이라 볼 수 있다
- 결론: 억까인 상황에 대해서는 첫 줄에 마력이 공격력보다 더 많이 등장한다
- 한편, 억까의 기준이 너무 높다고 생각할 수 있다
- 위에서 정한 억까의 기준은 에디 마력 2줄을 3번 이상 획득한 후 공격력 2줄을 획득한 경우이다
- 억까의 기준을 가장 약하게 정한다면 에디 마력 2줄을 단 1번 획득한 후 공격력 2줄을 획득한 경우로 정의할 수 있다
threshold = 1
size = 50000
ns, spell_power_counts, attack_power_counts = record_tests_v2(threshold=threshold, size=size)
print(sum(ns))
print(min(ns))
print(max(ns))
gaps = spell_power_counts - attack_power_counts
print(len(gaps))
sum(gaps)
- 에디 마력 2줄을 단 1번 획득한 후 공격력 2줄을 획득한 사람은 50000명 중 12469명이다
- 이 12469명의 경우 총 2007492번 잠재능력을 재설정 했으며 첫 번째 줄에서 마력이 공격력보다 12번 더 등장했다
- 위에서 계산한 것과 동일하게 해보면 $95\%$의 데이터는 $(-431, 431)$에 존재한다
- 이는 일반적인 기준과 비교했을 때 이상치로 취급되지 않는다
- 따라서 일반적인 경우에서 샘플링한 것인지 에디 마력 2줄을 1번 획득한 후 공격력 2줄을 획득한 사람을 대상으로 샘플링한 것인지 구분할 수 없다
- 생각해보면 당연한게 마력 2줄을 1번 획득했고 공격력 2줄도 동일하게 1번 획득했다
- 즉, 둘의 비율이 $1:1$이다
- 일반적인 경우도 맨 처음에 계산했듯이 둘의 비율이 $1:1$이다
- 그러니 구분하지 못하는게 당연하고 오히려 첫 번째 줄에서 공격력 또는 마력이 나머지에 비해 $431$번 더 등장했다면 문제가 된다
- 처음에 설정한 궁금증은 마력 2줄을 여러 번 획득한 후 공격력 2줄을 획득했을 때 첫 번째 줄 옵션은 마력이 공격력보다 많이 획득되도록 편향되었을까?였다
- 이 궁금증은 에디 마력 2줄을 단 1번 획득한 후 공격력 2줄을 획득한 사람을 제외하곤 성립한다